Равнина. Равнина – это место горизонтально плоское, то есть все ее точки расположены на равном расстоянии от уровня моря.
Полог. По смыслу это слово уже не связывается с корнем лаг – лож.
Плав – плов. В написание вмешалось языковое чутье. В свое время появились сложносокращенные слова: плавкран, плавсредства с двумя ударениями. Если стали так говорить, то и писать слова стали с корнем плав (плавать, плавун). Так и была узаконена новая орфограмма.
Твар-твор. Исторически это, действительно, один корень, имевший два варианта. Однако со временем варианты очень сильно разошлись по значению и стали самостоятельными корнями.
Первый вариант связан с идеей творчества и творения и пишется с буквой о не только в ударной, но и в безударной позиции: творить, твoрческий, творeц, творeние, болезнетвoрный.
Второй вариант встречается в нескольких словах, изначально связанных с идеей творения, но по существу потерявших или теряющих эту связь. Он также может встречаться и в ударной, и в безударной позиции: тварь, тварюга, утварь.
Устаревающее слово утварь означает "совокупность предметов, необходимых в обиходе", то есть посуда, хозяйственные принадлежности, мебель и т.п. Сегодня в нём уже нельзя выделить корень твар, правильнее говорить о корне утварь: приставка у уже слилась с корнем.
Слово тварь сохраняет определённую связь с идеей творения в таких сочетаниях и выражениях, как божья тварь или всякой твари по паре. Однако эта связь едва ли чувствуется в распространённом бранном употреблении по отношению к животным или людям (в значении "подлый, мерзкий человек"): Этот осёл — такая упрямая тварь. В общем, и само слово тварь, и однокоренное слово тварюга пишутся с буквой а.
К сожалению, поиски по данной теме на этом остановились, так как не удалось найти дополнительную информацию. Но и собранный материал нам кажется очень полезным.